Les nombres relatifs se placent sur une droite graduée et portent deux informations essentielles: leur signe et leur distance à zéro. Cette double information permet de comprendre les règles d’addition et de soustraction et de les appliquer dans des situations variées, notamment en contexte ludique ou concret (argent, marches, étages, températures, altitude).
Rappels clairs sur les nombres relatifs
Définition Nombre relatif : Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe : le signe + pour un nombre positif, le signe − pour un nombre négatif. Le nombre 0 est le seul à être ni strictement positif ni strictement négatif et sert de repère dans les deux sens.
Remarque Le signe + d'un nombre positif est facultatif : +7 et 7 désignent le même nombre. Le signe −, lui, ne s'omet jamais.
Distance à zéro et valeur absolue : La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre positif obtenu en supprimant son signe, noté entre deux barres verticales. Ainsi ∣−5∣=5. Deux nombres opposés (par exemple +7 et −7) peuvent avoir la même distance à zéro.
La droite graduée et l'abscisse d'un point : Sur une droite graduée, chaque point M est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse, noté M(x). L’origine est le point 0 et le sens de la marche est donné par la flèche.
Nombres opposés : Deux nombres relatifs sont opposés quand ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. L’opposé de +a est −a et l’opposé de −a est +a. Le zéro est son opposé.
Comparer des nombres relatifs : trois règles essentielles permettent de déterminer l’ordre sur la droite graduée. En résumé : un positif est toujours supérieur à tout négatif; entre deux positifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus grande; entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite.
Addition et soustraction des relatifs
Opérations sur des nombres relatifs - Règles d’addition
- Deux nombres de même signe : on garde le signe et on additionne les distances à zéro. Exemple : (−9)+(−2)=−11.
- Deux nombres de signes opposés : on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on calcule la différence des distances (grande distance − petite distance). Exemple : (−9)+( +34 ) = +25.
Opérations sur des nombres relatifs - Règles de soustraction
- Pour soustraire un nombre, on ajoute son opposé. Cela permet de revenir aux cas d’addition.
Exemples : (+6) − (+9) = (+6) + (−9) = −3 et (−9) − (+7) = (−9) + (−7) = −16.
Petite astuce et contexte concret
Astuce pratique : faire les opérations avec l’argent, des marches d’escalier, ou des étages d’immeubles. Exemple mental : pour effectuer (+3)+(−6), on se dit « je monte 3 étages et j’en redescends 6 », et on déduit l’étage final atteint.
Consigne pédagogique : Effectuer les opérations suivantes. Clique sur le numéro du parcours où tu es rendu. Le jeu comprend 10 niveaux et chaque niveau présente des calculs à réaliser sans erreur. Les nombres relatifs sont colorés (vert pour positif, rouge pour négatif) jusqu’au niveau 8 inclus, et l’opération est indiquée en bleu.
Applications et exemples tirés du parcours pédagogique
Jusqu’ici, les nombres rencontrés étaient positifs, le zéro servant de repère. Mais de nombreuses situations nécessitent de descendre en dessous de zéro : une température, une altitude, un compte bancaire, une date historique ou une échelle graduée démontrent l’utilité des nombres relatifs.
Températures et altitude : −6 °C et +31 °C, sommet du Toubkal à +4167 m et nappe phréatique à −40 m. Un thermomètre gradué en nombres relatifs illustre parfaitement la distinction entre négatif et positif autour de zéro.
Éléments de repérage sur une droite graduée et dans le plan : distance à zéro et abscisse se lisent différemment sur une ligne horizontale, et sur un repère du plan il faut deux droites perpendiculaires (abscisse et ordonnée) qui s’intersectent en l’origine.
Exemples d’exercices et corrections rapides
Question-type : une course en montagne est schématisée et l’altitude finale est calculée en additionnant montées positives et descentes négatives. Exemple : départ 489 m, montées de +321 m, descentes de −145 m, montées de +212 m, descentes de −178 m et montée de +427 m. Total des montées = 321 + 212 + 427 = 960 m; total des descentes = −145 − 178 = −323 m. Altitude finale = 489 + 960 − 323 = 1126 m.
Autre type d’exercice : ordonner des nombres par ordre croissant sur une droite graduée et identifier l’abscisse des points donnés. On rappelle que l’abscisse est le nombre relatif qui repère le point, et que l’ordre croissant va du plus petit au plus grand, en tenant compte des signes et des distances à zéro.
On peut aussi explorer des relations entre des nombres relatifs et leur utilisation quotidienne, comme les températures, les soldes bancaires et les dates ancients, afin de consolider la compréhension des opposés et des distances à zéro dans des contextes concrets.
Tableau synthèse des règles (résumé pratique)
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition de mêmes signes | garder le signe et additionner les distances | (−9)+(−2)=−11 |
| Addition de signes opposés | signe du grand à zéro, différence des distances | (−9)+( +34 ) = +25 |
| Soustraction | ajouter l’opposé | (+6)−(+9) = (+6)+(−9) = −3 |
Les jeux et les activités présentés renforcent la conceptualisation et permettent d’appréhender les nombres relatifs dans des situations concrètes et motivantes, tout en consolidant les règles de calcul associées.
